Giới thiệu (updated 23/04/2021)

Giải tích số (Numerical Analysis) hay còn gọi là Phương pháp số (Numerical Method) hoặc Phương pháp tính (Computational Method) là một lĩnh vực nghiên cứu về những kỹ thuật tính toán để có thể giải số những bài toán trong toán học. Chúng ta sẽ tìm cách mang đến những lời giải mang tính chất định lượng với yêu cầu là càng chính xác càng tốt và tốc độ tính toán càng nhanh càng tốt. Chẳng hạn khi nghiên cứu giải một hệ phương trình tuyến tính Ax = b, thì chúng ta biết rằng nếu ma trận A không suy biến thì nó có nghiệm duy nhất. Vấn đề đặt ra là tìm nghiệm đó như thế nào? Phương pháp nào có thể tìm được nghiệm nhanh nhất? chính xác nhất? Mặt khác nhiều khi các tham số của phương trình (ma trận A và vector b) trong hệ thường đến từ một nguồn nào đấy, vậy nên câu hỏi đặt ra là phương pháp đấy có ổn định không, tức khi những tham số này thay đổi đủ nhỏ thì phương pháp đấy vẫn đảm bảo một sai số đủ nhỏ của nghiệm tìm được không? Thêm nữa, những hệ phương trình tuyến tính như vậy xuất hiện rất nhiều trong thực tế (các bài toán phương trình vi phân hoặc phương trình đạo hàm riêng) với số lượng biến rất lớn có thể đến hàng nghìn, hàng triệu, thặm chí nhiều hơn nữa. Vậy nên việc tính toán cần phải được thực thi trên máy tính điện tử với một ngôn ngữ lập trình nào đó chứ không thể tính tay được. Khi phải làm việc với máy tính thì lại có thêm một số vấn đề: chẳng hạn làm thế nào để lưu trữ thông tin liên quan đến ma trận A và vector b một cách hiệu quả nhất (thường là bộ nhớ cần cấp ít nhất); ngoài ra trong quá trình thực hiện các phép tính chúng ta sẽ phải làm việc với những số được làm tròn (mặc dù đến một độ chính xác rất cao) chứ không thể có giá trị đúng của những tham số. Khi đó vấn đề là những phương pháp giải đó có bị ảnh hưởng của sai số làm tròn này không? ảnh hưởng như thế nào trong suốt quá trình tính toán từ lúc bắt đầu cho dữ liệu vào đến lúc ra được kết quả cuối cùng? Những điều đó sẽ là nội dung được nghiên cứu trong môn học.

Môn học này gắn bó mật thiết với lĩnh vực khoa học máy tính (computer science). Chúng ta không chỉ nghiên cứu những kỹ thuật tính nhanh/chính xác/ổn định mà còn quan tâm tới việc thực thi chúng trên máy tính nữa. Tức là còn phải quan tâm tới cả vấn đề như cấu trúc dữ liệu và tính toán song song.

Nội dung chương trình môn học.

1. Interpolation

2. Numerical method for Integral

3. Solve equation

4. Numerical method in Linear Algebra

5. Ordinary Differential Equation

5.1. The intitial condition problem (Cauchy problem)

5.2. The boundary problem 

6. Partial Differential Equation : The difference methods